$latex {\fbox{{\LARGE EXAMEN DE SELECTIVIDAD JUNIO 2013.
MATEM\'{A}TICAS II.}}}&fg=000000$
$latex {\frame{OPCI\'{O}N A.}}&fg=000000$
$latex {\frame{PROBLEMA A.1.}}&fg=000000$Comprobar razonadamente,escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que:
a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo,es decir que AB=BA, entonces se deduce que A$latex {^{2}}&fg=000000$B$latex {^{2}}&fg=000000$=(AB)$latex {^{2}}&fg=000000$.(2puntos).
$latex {DadoA^{2}B^{2}=\ AABB=A\left( AB\right) B{\LARGE \ } (puestoqueelproductodematricesesasociativo)}&fg=000000$
$latex {\qquad =A\left( BA\right) B=(puestoqueAB=BA)}&fg=000000$
\qquad $latex {\ =AB\cdot AB=(puestoqueelproductodematricesesasociativo)}&fg=000000$
$latex {\qquad =\left( AB\right) ^{2}}&fg=000000$
$latex {\qquad \qquad \qquad }&fg=000000$
b) Que lamatriz A=$latex {\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -4 & 10 \\
0 & -3 & 7 \end{array} \right) }&fg=000000$que satisface larelaci\'{o}n A$latex {^{2}}&fg=000000$-3A+2I=O,siendo Iy O, respectivamente, lasmatrices de orden 3$latex {\times }&fg=000000$ 3unidad y nula,(4puntos),
y que una matriz A talque A$latex {^{2}}&fg=000000$-3A+2I= O tiene matriz inversa.(2puntos)
$latex {A^{2}-3A+2I=O}&fg=000000$
\bigskip $latex {A^{2}=A\cdot A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -4 & 10 \\
0 & -3 & 7 \end{array} \right) \cdot \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -4 & 10 \\
0 & -3 & 7 \end{array} \right) =\left(
\begin{array}{ccc}
1\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot 0 & 1\cdot 0+0\cdot \left( -4\right) +0\cdot \left(
-3\right) & 1\cdot 0+0\cdot 10+0\cdot 7 \\
0\cdot 1+\left( -4\right) \cdot 0+10\cdot 0 & 0\cdot 1+\left( -4\right)
\cdot \left( -4\right) +10\cdot \left( -3\right) & 0\cdot 0+\left( -4\right)
\cdot 10+10\cdot 7 \\
0\cdot 1+\left( -3\right) \cdot 0+\left( -7\right) \cdot 0 & 0\cdot 1+\left(
-3\right) \cdot \left( -4\right) +\left( -7\right) \cdot \left( -3\right) &
0\cdot 0+\left( -3\right) \cdot 10+\left( -7\right) \cdot 7 \end{array} \right) =\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -14 & 30 \\
0 & -9 & 19 \end{array} \right) }&fg=000000$
$latex {3A=\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & -12 & 30 \\
0 & -9 & 21 \end{array} \right) }&fg=000000$
$latex {A^{2}-3A+2I=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -14 & 30 \\
0 & -9 & 19 \end{array} \right) -\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 0 \\
0 & -12 & 30 \\
0 & -9 & 21 \end{array} \right) +\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \end{array} \right) =\left(
\begin{array}{ccc}
1-3+2 & 0-0+0 & 0-0+0 \\
0+0+0 & -14+12+2 & 30-30+0 \\
0-0+0 & -9+9+0 & 19-21+2 \end{array} \right) =\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{array} \right) }&fg=000000$
$latex {\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast \ast
\ast \ast \ast }&fg=000000$
$latex {\exists A}&fg=000000$ $latex {/}&fg=000000$ $latex {A^{2}-3A+2I=O\Longrightarrow \exists A^{-1}}&fg=000000$
$latex {A^{2}-3A+2I=0\Longrightarrow A^{2}-3A=-2I\Longrightarrow A\left(
A-3I\right) =-2I\Longrightarrow A\left( A-3I\right) \cdot \dfrac{-1}{2} =\left( -2I\right) \cdot \dfrac{-1}{2}\Longrightarrow A\left( A-3I\right)
\cdot \dfrac{-1}{2}=I\Longrightarrow A\cdot \left( A-3I\right) \cdot \left(
\dfrac{-1}{2}\right) =I\Longrightarrow A^{-1}=\left( A-3I\right) \cdot
\left( \dfrac{-1}{2}\right) }&fg=000000$
c) Obtener razonadamente,escribiendo todos los pasos del razonamiento
utilizado, los valores \U{3b1} y \U{3b2} tales que A$latex {^{3}}&fg=000000$=\U{3b1}A+\U{3b2} I, sabiendo que lamatriz A verifica la igualdad A$latex {^{2}}&fg=000000$-3A+2I=O. (2puntos).
