¿Sabías que?

1 = 0,9999999…..? Veamos diferentes demostraciones.

Demostración 1

Dado que x = 0,999…

10x = 9,999…

– x = 0,999…

————————–

9x = 9 –> x=1

Entonces: x = 0,999… = 1

Demostración 2

Sean x=0,9… y 1 dos números reales distintos.
Entonces 1-x es diferente de 0.

Restamos:

1,000000000…0…
– 0,999999999…9…
—————————

Y como siempre te llevas uno de atrás por lo tanto la resta da 0 llegando a un absurdo.

Por lo tanto son iguales.

Demostración 3

Dado que : x = 1 = 3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3

Entonces x= 0,3333..3.. + 0,3333..3.. + 0,3333..3.. = 0.9999..9..

Queda demostrado que x = 1 = 0,99999…

Demostración 4

Dado x=0,999999….= 0 + 0,9 + 0,09+0,009+…..

Entonces:

x = 0 + 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + 9 /10^4 +……….+ 9/10^n+……

x = 0 + 9/10 x (1+ 1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 +……….+ 1/10^n+……)

Tenemos que:

y=1+ 1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 +……….+ 1/10^n+……. –> Suceción geométrica de razón 1/10

donde la suma de sus términos es igual al cociente dado por Sn=a1/(1-r)=1/(1-(1/10))=1/(9/10)=10/9

Por lo que:

x = 0 + 9/10 (1+ 1/10 + 1/10^2 + 1/10^3 +……….+ 1/10^n+……) = 0 + 9/10 x (10/9)= 0 + (9 x 10) / (10 x 9) = 0 + 1 = 1

Y queda demostrado que x = 0, 99999….=1

Criba de Eratóstenes

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.

Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.

Finalmente, murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.